15.- Progresión aritmética

Con esta actividad se pretende visualizar la suma de los términos de una progresión aritmética. Esa progresión se va a presentar como una serie de rectángulos de altura constante y amplitud correspondiente a la progresión. Esos rectángulos formarán como una escalera, que al girarla veremos cómo se forma un rectángulo que será el doble de la suma.

Guarda la construcción con el nombre progresion.ggb

Pasos a seguir en la construcción

Comenzamos creando tres deslizadores: a_1 y d, ambos entre 1 y 5, y un tercer deslizador n entre 1 y 10. Todos con incremento la unidad, para trabajar con números naturales. Los colocamos en la parte superior de la ventana, alineados.

Situamos un punto A en la parte superior derecha de la ventana, debajo de los deslizadores. Se incluyen ahora los puntos B=A+(0,-1)  y  C=B+(1,0).

Estos tres puntos nos darán el vértice para construir los rectángulos. Debes ocultarlos pues sólo nos servirán de referencia.

Debemos construir ahora la lista de rectángulos a partir de esos puntos. Para ello debes copiar la siguiente orden.

L1 = Secuencia(Polígono(A + (i - 1) (B - A), A + i (B - A), A + i (B - A) + (a_1 + (i - 1) d) (C - B), A + (i - 1) (B - A) + (a_1 + (i - 1) d) (C - B)), i, 1, n)

Con esto ya tenemos dibujada la escalera de los términos de la progresión. Vamos a ampliarla colocándole junto a cada rectángulo el valor de la progresión. Para ello, introducimos dos nuevas órdenes:

prog = Secuencia(a_1 + (t - 1) d, t, 1, n)

text = Secuencia(Texto(Elemento(prog, t), PuntoMedio(A, B) - (1, 0.25) - (t - 1) (0, 1)), t, 1, n)

Ahora viene la parte visual para observar la suma de los términos de la progresión. En primer lugar necesitamos su término final que lo conseguimos con la orden:

a_n = a_1 + (n-1) d

Construimos ahora un nuevo número que será el opuesto de A en la construcción escalonada. Igual que los anteriores lo ocultamos.

D=A+(a_1+a_n,-n)

Y el punto que nos va a servir para girar la estructura será:

M=(A+D)/2

Se construye un nuevo deslizador α, de tipo ángulo variando desde 0º a 180º. En propiedades, le añadimos como rótulo suma y hacemos visible en la etiqueta el rótulo.

Rotamos los puntos A, B y C respecto a M un ángulo igual a α. Todos los puntos nuevos deben ser ocultados.

La siguiente orden será la misma que hicimos antes para crear los rectángulos, pero particularizada ahora para los nuevos puntos.

L2 = Secuencia(Polígono(A' + (i - 1) (B' - A'), A' + i (B' - A'), A' + i (B' - A') + (a_1+ (i - 1)

d) (C' - B'), A' + (i - 1) (B' - A') + (a_1 + (i - 1) d) (C' - B')), i, 1, n)

Para que quede más visual, vamos a utilizar colores dinámicos para la lista que movemos. Para ello elegimos la lista L2 y en el apartado de propiedades, dentro de la pestaña Avanzado colocamos los siguientes valores:

Si ahora movemos el deslizador suma podemos ver como se visualiza la suma doble de los términos de la progresión.

Bastaría completar la construcción añadiendo una serie de textos que den más información sobre los valores manejados en la presentación.