La botella de Klein es una superficie no orientable que se puede describir como un objeto con una sola cara y sin borde. Fue descubierta por el matemático alemán Felix Klein en 1882. A diferencia de un objeto tridimensional convencional, como una esfera o un toro, la botella de Klein no se puede representar en el espacio euclidiano ordinario de tres dimensiones sin autointersecciones.

Para describir matemáticamente la botella de Klein, se utilizan diferentes parametrizaciones o ecuaciones, que varían dependiendo del enfoque utilizado. Aquí se presentan dos posibles ecuaciones para la botella de Klein:

Ecuación de la botella de Klein con cintas de Moebius:
x(u, v) = (R + (a * cos(u / 2)) * cos(v) - (b * sin(u / 2)) * sin(2v)) * cos(u)
y(u, v) = (R + (a * cos(u / 2)) * cos(v) - (b * sin(u / 2)) * sin(2v)) * sin(u)
z(u, v) = b * sin(u / 2) * cos(v) + (a * cos(u / 2)) * sin(2v)

En esta ecuación, R es el radio de la botella de Klein, "a" y "b" son parámetros que controlan su forma y u y v son los parámetros de la superficie.

Ecuación de la botella de Klein con una banda de Möbius:
x(u, v) = (R + (a * cos(u)) * cos(v/2)) * cos(u)
y(u, v) = (R + (a * cos(u)) * cos(v/2)) * sin(u)
z(u, v) = a * sin(u) * cos(v/2)

En esta ecuación, R es el radio de la botella de Klein y "a" es un parámetro que controla su forma. Las variables u y v también son parámetros de la superficie.

Construye con la impresora 3D la botella de Klein

El Tetraedro de Sierpinski, es una generalización tridimensional del conocido triángulo Sierpinski. Su construcción matemática se realiza partiendo de un tetraedro. Sobre cada una de sus caras, marcamos los puntos medios de las aristas. Al unirlas, aparece un octaedro, el cual eliminamos.
Lo que se pide realizar es una construcción única en la que se observen las cuatro primeras iteraciones en la construcción del tetraedro de Sierpinski